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数学史上的三次危机还好都度过啦

时间:2018-08-17 13:35  来源:未知  阅读次数: 复制分享 我要评论

  毕达哥拉斯学派(公元前500年)信奉数是万物的本源,事物的性质是由某种数量关系决定的,万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序;“一切数均可表成整数或整数之比。

  后来,毕达哥拉斯证明了勾股定理,但同时发现“某些直角三角形的三边比不能用整数来表达。不过毕达哥拉斯选择隐瞒实情。装作不知道。

  希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?这就是希帕索斯悖论,他本人因为此事被抛入大海!

  二百年后,欧多克索斯建立起一套完整的比例论,巧妙地避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,缓解了数学危机。数学史上的三次危机还好都度过啦 但欧多克索斯的解决方式,是 借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的。 危机并没有解决只是被巧妙避开。

  直到到十九世纪下半叶,实数理论建立后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机;

  十七世纪,牛顿与莱布尼兹各自独立发现了微积分,但两人的理论都建立在无穷小分析之上。

  无穷小量在牛顿的理论中“一会儿是零,一会儿又不是零”。贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。

  十九世纪七十年代初,魏尔斯特拉斯、柯西、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,在实数理论基础上,建立起极限论的基本定理,缓解了危机。

  但又出现新的问题 :魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子,说明直观及几何的思考不可靠,而必须诉诸严格的概念及推理。 推动数家们更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题,导致了集合论的诞生。

  集合论产生:十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论。刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。 后来数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。“一切数学成果可建立在集合论基础上”。

  但是不久伯特兰·罗素(Bertrand Russell,1872—1970)提出了一个悖论,可以用一个理发师问题进行通俗的描述:

  塞尔维亚有一位理发师:他只给所有不给自己理发的人理发,不给那些给自己理发的人理发。 问:他要不要给自己理发呢?

  如果他给自己理发,他就属于那些给自己理发的人,因此他不能给自己理发。如果他不给自己理发,他就属于那些不给自己理发的人,因此他就应该给自己理发。(严格的罗素悖论: S由一切不是自身元素的集合所组成。 罗素问:S是否属于S呢? )

  德国数学家、逻辑学家弗雷格: “一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,在他的工作即将结束时,其基础崩溃了。

  库尔特·哥德尔(Kurt Godel)1931年成功证明: 任何一个数学系统,只要它是从有限的公理和基本概念中推导出来的,并且从中能推证出自然数系统,就可以在其中找到一个命题,对于它我们既没有办法证明,又没有办法推翻。 哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论,宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。

  历史上的三次数学危机,给人们带来了极大的麻烦,危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段,所以悖论是科学发展的产物,又是科学发展源泉之一.第一次数学危机使人们发现无理数,建立了完整的实数理论,欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系;第二次数学危机的出现,直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善,使微积分建立在稳固且完美的基础之上;第三次数学危机,使集合论成为一个完整的集合论公理体系(ZFC系统),促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。返回搜狐,查看更多